10 Fatos não intuitivos sobre o Infinito
Os conceitos e definições relacionados ao infinito em Matemática podem levar a algumas ideias contra-intuitivas. Neste post listo 10 delas que vejo aparecer em dúvidas na internet.
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1- Conjuntos infinitos podem ter mais elementos ou menos elementos que outros (no sentido de cardinalidade)!
★Para comparar a quantidade de elementos entre dois conjuntos não é necessário contar a quantidade de cada um deles!
Exemplo:
•Se há uma sala com cadeiras e alunos e todo aluno está sentado em uma cadeira e cada cadeira ocupada mesmo sem contar suas quantidades sabemos que possuem a mesma quantidade de elementos.
Essa relação de um para um é chamada de bijeção.
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| Função Bijetora |
☛Se há uma bijeção entre dois conjuntos eles possuem a mesma quantidade de elementos.
•Por outro lado se conseguimos sentar todos alunos em cadeiras, um em cada uma (sem especificar se sobraram ou não cadeiras vazias) sabemos que a quantidade de alunos é menor ou igual que a quantidade de cadeiras.
Essa relação é chamada de injetiva.
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| Função Injetora |
☛Se há uma função injetora de um conjunto A para um conjunto B, então A possui uma quantidade (cardinalidade) menor ou igual a quantidade de elementos do conjunto B.
• Por fim, se qualquer rearranjo dos alunos nas cadeiras nunca ocupa todas as cadeiras, então a quantidade de cadeiras é maior que a quantidade de alunos. Neste caso dizemos que não temos uma relação sobrejetora.
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| Função Sobrejetiva |
☛Se há uma função injetora de um conjunto A para um conjunto B e não há função sobrejetora de A em B, então A possui menos elementos (menor cardinalidade) que B.
Com isso podemos comparar tamanho de conjuntos infinitos e finitos.
✔ Se há bijeção eles tem mesma quantidade de elementos.
✔Se há função injetora mas não sobrejetora de A em B, então A tem menos elementos que B.
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2- O conjunto dos inteiros $Z$ possui mesma quantidade de elementos que o conjunto dos naturais $N$.
•Mesmo se um conjunto esteja contido em outro eles podem ter a mesma quantidade de elementos!
•No caso podemos encontrar uma bijeção entre os inteiros e os naturais
Naturais 0 1 2 3 4 5 .... etc
Inteiros 0 -1 1 -2 2 -3 ... etc
•Assim conseguimos listar todos os inteiros, isto é, estão em bijeção com os naturais, logo tem a mesma quantidade de elementos.
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3- O conjunto dos racionais $Q$ possui mesma quantidade de elementos que o conjunto dos naturais $N$.
•Isso pode aparecer mais contra-intuitivo ainda, o conjunto de todas frações de inteiros possui mesma quantidade de elementos que o conjunto dos naturais!!! Como isso??
•Sim isso também é verdade, podemos listar todos os racionais. Criando uma bijeção entre os naturais e racionais. Veja como visualmente pode ser feito com os racionais positivos seguindo a seta
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4- Os intervalos [0,1] e [0,2] possuem a mesma quantidade de elementos!!
• Mesmo que [0,1] seja subconjunto de [0,2] e que [0,2] tenha o dobro da medida de [0,1] eles possuem a mesma quantidade de elementos.
• Isso acontece pois existe uma bijeção simples entre eles, a função f:[0,1] em [0,2] com f(x)=2x.
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As próximos pontos iremos apenas citar os fatos sem apresentar as bijeções ou motivos delas existirem (pois são um pouco mais complicadas).
5- Um intervalo como [0,1] tem mesma quantidade de elementos que a reta toda $\mathbb{R}$.
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6- Um intervalo como [0,1] tem mesma quantidade de elementos que o espaço tridimensional inteiro o $\mathbb{R^3}$.
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7-Existem Infinitos maiores que outros, por exemplo, o infinito dos números reais é maior que o infinito dos números naturais.
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8-Dado um conjunto X sempre existe um conjunto com mais elementos que X. Que é o conjunto formado por todos subconjuntos de X, chamado conjunto das partes.
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9-Hipótese do contínuo. Existe algum conjunto com cardinalidade entre a dos reais e a dos naturais?
Foi provado que tal asserção é independente do esquema de axiomas que se toma hoje em dia na maior parte de Matemática sendo feita (Axiomas de teorias de conjunto ZFC), isto é, a existência ou não de um tal tipo de conjunto pode ser tomado com axioma adicional em ZFC e ter consistência lógica equivalente ao próprio ZFC.
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10-Paradoxos Do Hotel de Hilbert.
•O Hotel de Hilbert possui infinitos quartos, em quantidade enumerável ($1^\circ$ quarto , $2^\circ$ quarto, etc.)
••Certa vez, o hotel estava com $500$ quartos ocupados quando chegou um ônibus contendo uma infinidade enumerável de turistas. O responsável pela excursão se dirigiu a recepção do Hotel e logo foi atendido pelo recepcionista. O recepcionista informou que haviam $500$ quartos ocupados, logo achou que dos infinitos turistas $500$ ficariam sem quarto. Por sorte o gerente do Hotel, David Hilbert, estava por perto no momento , ao ouvir sobre a situação foi a recepção e disse que não era necessário nenhuma preocupação, haveria quarto para todos. O esquema que Hilbert elaborou foi o seguinte:
e assim todos turistas poderiam ser hospedados.
•Mal Hilbert acabara de pensar na divisão dos quartos quando chegou outro ônibus no Hotel, também contendo uma quantidade infinita enumerável de Turistas. O recepcionista do Hotel, que não sabia matemática, se desesperou, achava que teriam que mandar todos aqueles turistas embora. Hilbert acalmou o recepcionista dizendo que ainda assim haveria quarto para todos. Para solucionar o problema ele fez uma nova divisão de quartos da seguinte maneira:
•Com isso ele consegui que todos fossem hospedados e portanto Hilbert salvou o dia e todos viveram felizes para sempre$\dots$
Na verdade Hilbert foi um pouco mais precavido, ele supôs que poderiam chegar outros ônibus lotados de passageiros e decidiu deixar ainda uma quantidade infinita de quartos vagos, caso chegassem novos hospedes, assim sua divisão final ficou como
••Naquele Verão ainda chegariam outros ônibus totalmente lotados de infinitos passageiros e todos conseguiram um quarto e sempre sobravam infinitos quartos para possíveis novos passageiros.
Bem ficamos por aqui. Caso queiram estudar o tema mais a fundo fica um link de material:
►(4.4)Conjuntos enumeráveis
Um abraço infinito!
muito bom!!
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