Produtos envolvendo funções trigonométricas e Produto telescópico

Neste texto demonstramos uma propriedade que ajuda a encontrar fórmulas fechadas para produtórios depois aplicamos tal identidade (o produto telescópico) em alguns produtórios de funções trigonométricas.


O conteúdo apresentado aqui está contido no primeiro pdf abaixo (porém o pdf possui mais conteúdo sobre produtórios que o apresentado neste post).

►produtórios
►(9.17) produtórios Texto I
https://www.dropbox.com/s/mqhzjwovs1lryh9/produto.pdf?dl=0
(9.18) texto 2
https://www.dropbox.com/s/o7218g6i6obtjrf/produto2.pdf?dl=0

[Notações]
Denotaremos
•$Qf(x)=\frac{ f(x+1) }{f(x)}.$
• $f(x)Q\bigg]^b_a= \frac{f(b)}{f(a)}.$


[Teorema](Teorema fundamental do produtório parte I-Produto telescópico.)
$$\prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\frac{f(b+1)}{f(a)} $$


[Demonstração]
$$ \prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\prod^{b}_{k=a}\frac{f(k+1)}{f(k)}=\prod^{b}_{k=a}f(k+1).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}=$$
fazendo mudança de variável nos produtórios temos
$$=\prod^{b+1}_{k=a+1}f(k).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}= $$
abrindo o último termo do primeiro produtório  e o primeiro
termo do segundo produtório temos
$$=\frac{f(b+1)}{f(a)}.\prod^{b}_{k=a+1}f(k).\prod^{b}_{k=a+1}\frac{1}{f(k)}= $$
$$=\frac{f(b+1)}{f(a)}\prod^{b}_{k=a+1}\frac{f(k)}{f(k)}=\frac{f(b+1)}{f(a)}$$
vamos simbolizar $\frac{f(b+1)}{f(a)}$ por $f(k)Q\bigg]^{b+1}_{a} $
, então escrevemos
$$\prod^{b}_{k=a}Qf(k)=f(k)Q\bigg]^{b+1}_{a} $$

C.Q.D


Agora iremos achar fórmulas para alguns produtórios trigonométricos.

[Proposição]
Valem as identidades

  • $\prod^{n-1}_{x=0} cos (c.2^{x})=\frac{sen(c.2^{n})}{2^{n}sen(c)},\;\;  \prod^{n}_{x=1} cos (c.2^{x})=\frac{sen(c.2^{n+1})}{2^{n}sen(2c)}.$

  • $\prod^{n}_{k=1}cos (\frac{x}{2^{k}})=\frac{sen (x) }{2^{n}sen(  \frac{x}{2^{n}})}. $


[Demonstração]


  • Da identidade

$$sen(2a)=2cos(a).sen(a )$$

se $sen(a) \neq 0$ temos

$$\frac{1}{2}\frac{sen(2a)}{sen(a)}=cos(a) $$

agora se quisermos que $\frac{sen(2a)}{sen(a)}$ seja da forma $\frac{sen (f(x+1))}{sen(f(x))}$ pois assim será o quociente de $g(x)= sen( f(x))$ e assim podemos calcular o produtório facilmente, temos que $f(x+1)=2a$ e $f(x)=a$, logo $f(x+1)=2f(x)$ a função que satisfaz essa relação é $f(x)=c.2^{x}$ temos então

$$cos (c.2^{x})=\frac{1}{2}\frac{sen(c.2^{x+1})}{sen(c.2^{x})} =Q\frac{1}{2^{x}}sen(c.2^{x})$$

assim temos

$$\prod cos (c.2^{x}) = \frac{1}{2^{x}}sen(c.2^{x})$$

aplicando limites $[0,n-1]$

$$\prod^{n-1}_{x=0} cos (c.2^{x})=\frac{1}{2^{x}}sen(c.2^{x})Q\bigg]^{n}_{0}=\frac{sen(c.2^{n})}{2^{n}sen(c)} .$$

  • Poderíamos querer que $2a=f(x)$ e $f(x+1)=a$, assim $f(x+1)=\frac{1}{2} f(x)$ e temos $f(x)=c.\frac{1}{2^{x}}$

$$cos (c.\frac{1}{2^{x+1}})=\frac{1}{2}\frac{sen (c \frac{1}{2^{x}})}{sen (\frac{c}{2^{x+1}})}=Q\frac{1}{2^{x}sen (c \frac{1}{2^{x}})}$$

$$Q\frac{1}{2^{k}sen( x \frac{1}{2^{k}})}=cos (x.\frac{1}{2^{k+1}}) $$

aplicando o produtório com $k$ em $[0,n-2]$ temos

$$\prod^{n-1}_{k=0} Q\frac{1}{2^{k}sen( x \frac{1}{2^{k}})}=\prod^{n-1}_{k=0}cos (x.\frac{1}{2^{k+1}})=\prod^{n}_{k=1}cos (x.\frac{1}{2^{k}})=\frac{1}{2^{k}sen( x \frac{1}{2^{k}})}Q\bigg]^{n}_{0}=\frac{sen (x) }{2^{n}sen ( \frac{x}{2^{n}})}$$

assim

$$\prod^{n}_{k=1}cos (\frac{x}{2^{k}})=\frac{sen (x) }{2^{n}sen(  \frac{x}{2^{n}})}. $$

C.Q.D.

[Corolário]


Podemos tomar o limite com $n\rightarrow\infty$ na expressão $\prod^{n}_{k=1}cos (\frac{x}{2^{k}})=\frac{sen (x) }{2^{n}sen(  \frac{x}{2^{n}})} $, temos que resolver o limite

$$\lim  \frac{1 }{2^{n}sen  (\frac{x}{2^{n}})} $$

tomando $2^{n}=\frac{1}{y}$ temos $y=\frac{1}{2^{n}}$ com $y\rightarrow 0$

$$\lim_{y\rightarrow 0}  \frac{sen (xy) }{y}= x\lim_{y\rightarrow 0} \frac{sen (xy) }{xy}=x $$ logo segue

$$\prod^{\infty}_{k=1}cos (\frac{x}{2^{k}})=\frac{sen(x)}{x}.$$



[Exemplo]

Calcular

$$cos(20 ^\circ) cos(40^\circ) cos(80 ^\circ) .$$


Usamos a expressão $\prod^{n}_{x=1} cos (c.2^{x})=\frac{sen(c.2^{n+1})}{2^{n}sen(2c)}$ com  $n=3$ e $c=10^\circ$, que resulta em

$$ cos(20 ^\circ) cos(40^\circ) cos(80^\circ) =\frac{sen(160^\circ)}{8sen(20^\circ)} $$



porém $$sen(160^\circ)=sen(180^\circ-20^\circ)= sen(180^\circ)cos(20^\circ)-cos(180^\circ)sen(20^\circ) = sen(20^\circ)$$

logo o resultado do produto é $\frac{1}{8}.$


[Exemplo]

Calcular o produto

$$\prod^{n}_{k=1}(1-tg^2 (\frac{x}{2^k}) ) .$$


Usamos a identidade trigonométrica $1-tg^2 (x)=\frac{cos(2x)}{cos^2 (x)}$

que resulta em

$$(1-tg^2 (\frac{x}{2^k}) )=\frac{cos(\frac{x}{2^{k-1}})}{cos(\frac{x}{2^{k}})}  \frac{1}{ cos(\frac{x}{2^{k}})} $$

aplicando o produto $\prod^{n}_{k=1}$ temos

$$ \prod^{n}_{k=1}(1-tg^2 (\frac{x}{2^k}) ) = \frac{cos(x)}{cos(\frac{x}{2^{n}})}  \frac{2^{n}sen(  \frac{x}{2^{n}})}{sen(x)}$$



$$ \prod^{n}_{k=1}(1-tg^2 (\frac{x}{2^k}) )= \frac{2^n tg (\frac{x}{2^n})}{tg(x)}.$$