Séries do tipo $\sum^{\infty}_{k=0}ka^k .$
{Cálculo de séries do tipo $\sum\limits^{\infty}_{k=0}ka^k .$}
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Veja também página 52 desse texto
►(14.5)cálculo de séries
https://www.dropbox.com/s/2ut5lal356g4a5r/series2.pdf?dl=0
Veja página 35 do texto para acessar o exato texto desse blog em PDF.
►(20) Perguntas frequentes e erros comuns (FAQ)
[Exemplo]
Calcular
$$s_{0}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k}}. $$
Temos
$$s_{0}-\frac{s_{0}}{a}= 1+ \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{a^{k}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} = 1+ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} =1 .$$
logo
$$s_{0}-\frac{s_{0}}{a} = s_0 (\frac{a-1}{a})=1 \Rightarrow s_0 = \frac{a }{a-1} . $$
[Exemplo]
Calcular
$s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}. $
Manipulamos os índices da série
$$ s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}=1+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k+1}{2^k}=\underbrace{1+\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+2}{2^{k+1}}}_{s} , $$
multiplicamos $s$ por $\frac{1}{2}$
$$\frac{s}{2}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^{k+1}}\;\; daí\;\; $$
$$s-\frac{s}{2}=\frac{s}{2}=\underbrace{1+\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+2}{2^{k+1}}}_{s} -\underbrace{\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^{k+1}}}_{\frac{s}{2}} =1+\underbrace{\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{k+1}}}_{=1}=2 $$
como $\frac{s}{2}=2$ então $s=4.$
[Exemplo]
Calcular
$$s_{1}=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k}{a^{k}}. $$
%Temos $g(k)=k$ logo $\Delta g(k)=1$, $b=0$, logo
Temos manipulando os índices da série que
$$s_{1}-\frac{s_{1}}{a}= \sum^{\infty}_{k=1}\frac{k}{a^{k}} - \sum^{\infty}_{k=1}\frac{k}{a^{k+1}}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{a^{k+1}} - \sum^{\infty}_{k=0}\frac{k}{a^{k+1}} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}}=\frac{1}{a-1}$$
como $s_{1}-\frac{s_{1}}{a} = s_1\frac{(1-a)}{a}=\frac{1}{a-1} $ logo
$$s_{1}=\frac{a}{(a-1)^{2}}. $$
Na conta acima só fizemos alterações nos índices da série e usamos o resultado conhecido
$$\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}}=\frac{1}{a-1}. $$
Vejamos agora o procedimento geral, que permite calcular para onde converge séries, por exemplo, do tipo $\sum^{\infty}k^p a^k$
onde $p$ é natural.
[Exemplo][Procedimento geral]
Considere a série convergente
$$s=\sum^{\infty}_{k=b} g(k)a^{k} $$
sendo $g(k)$ um polin\^omio de grau $n$ e $|a|<1$ a s\'erie converge, fa\ccd amos a seguinte manipula\ccd \ta o, primeiro multiplicamos $s$ por $a$,
$$ s.a=\underbrace{\sum^{\infty}_{k=b} g(k)a^{k+1}}_{sa},$$
depois tomamos $s$ e manipulamos os índices da série
$$s=g(b)a^{b}+\sum^{\infty}_{k=b+1} g(k)a^{k}=\underbrace{g(b)a^{b}+\sum^{\infty}_{k=b} g(k+1)a^{k+1}}_{s},$$
tomando agora $s-sa$ tem-se
$$s-sa=\overbrace{g(b)a^{b}+\sum^{\infty}_{k=b} g(k+1)a^{k+1}}^{s}-\overbrace{\sum^{\infty}_{k=b} g(k)a^{k+1}}^{sa}=g(b)a^{b}+\sum^{\infty}_{k=b} (g(k+1)-g(k))(a^{k+1}) $$
logo denotando $\Delta g(k)=g(k+1)-g(k)$ temos
$$s-sa=g(b)a^{b}+\sum^{\infty}_{k=b} \Delta g(k) a^{k+1}, $$
podemos mostrar que se $g $ é polinômio de grau $n$ então a diferença $\Delta g(k)=g(k+1)-g(k)$ é um polinômio de grau $n-1$ (demonstração pode ser feita usando binômio de Newton), podemos continuar o processo até que o termo da diferença seja constante e teremos assim o resultado da série pois já sabemos calcular a série geométrica
$$\sum^{\infty}_{k=0} a^k =\frac{1}{1-a} . $$
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