Somas e Produtos sobre Conjuntos Vazio-Aplicações
[Somas e produtos sobre conjunto vazio-aplicações]
O mesmo conteúdo exposto aqui no blog se encontra no seguinte link:
► somas e produtos vazios
https://www.dropbox.com/s/yceuq6idshmmhyu/su10-somaprodutovazio.pdf?dl=0
O design do texto em pdf pode ser um pouco mais agradável a leitura.
Neste texto o objetivo é dar exemplo de aplicação do conceito de soma e produto sobre o conjunto vazio . Em geral Se temos $(G, \;*\;)$ um conjunto $G$ munido de uma operação $*$ e uma função $f: D \rightarrow G$ onde $D$ é uma união de conjuntos , isto é, $f$ é uma função que associa a cada conjunto um valor em $G$, vamos denotar a repetição da operação $*$ com o símbolo de produtório $\prod$, dados $A, B$
disjuntos em $D$, $A\cup B =C$, queremos que
$$\prod_{k \in C} f(k)=\prod_{k \in A} f(k) * \prod_{k \in B} f(k), $$
se por exemplo $A= \emptyset$ então $C=B \cup A= B \cup \emptyset =B$ a expressão acima fica como
$$\prod_{k \in B} f(k)=\prod_{k \in \emptyset} f(k) * \prod_{k \in B} f(k), $$
para que a expressão não fique alterada para qualquer $f$, devemos tomar $\prod_{k \in \emptyset} f(k) =e$ o elemento neutro .
O mesmo pode ser visto em
$$\prod_{k =1}^n f(k) $$
como produto sobre o conjunto $A=\{k \in N\;|\; 1 \leq k\leq n\}$, se $n=0$ o conjunto é vazio, logo
$$\prod_{k =1}^0 f(k) =e $$
ou em geral
$$\prod_{k =a}^{a-1} f(k) =e. $$
Se temos por exemplo $(R, +)$ o elemento neutro da adição é $0$, então
$$\sum_{k \in \emptyset} f(k) =0 .$$
Se temos $(R, \times)$ o elemento neutro da multiplicação é $1$, então
$$\prod_{k \in \emptyset} f(k) =1 .$$
Vamos abordar de outro modo
[Conceito de não multiplicar ou multiplicar $0$ vezes]
Considere aqui a operação $*$ arbitrária em $(G, *)$, vamos usar a notação multiplicativa, mas $G$ é apenas um conjunto munido de elemento neutro para a operação $*$ . A operação $*$ pode ser por exemplo, soma, multiplicação em $R$, multiplicação de matrizes $n \times n$ , somas em espaços vetoriais, entre outras coisas.
Considere $y= b .\prod^{n}_{k=1}f(k).$
Se $n=1$, multiplicamos $b$ por $f(1)$, temos uma operação de multiplicação.
Se $n=2$ multiplicamos $b$ por $f(1)$ e depois o resultado por $f(2)$, temos duas operações de multiplicação.
Em geral, com $n>0$, temos $n$ operações de multiplicão, de $b$ com $f(1), f(2), \cdots ,f(n)$.
Tentamos estender esse conceito para $n=0$, onde teríamos $0$-multiplicações, vamos interpretar tal conceito como tomar o número $b$ e não multiplicar $b$ , por qualquer que seja o número, isto é, mantemos o número $b$ inalterado, o que equivale a multiplicar o número por $1$, pois $1$ é o elemento neutro da multiplicação .
Com isso damos uma ideia intuitiva de
$$\prod^{0}_{k=1}f(k)=1.$$
Essa é a interpretação que damos ao produto vazio, a ideia de não multiplicar, ou multiplicar "$0$ vezes" é equivalente a multiplicar o número por $1$ o que não altera o resultado, pois é o elemento neutro da multiplicação .
[Aplicações de produto vazio]
[Fatorial, 0!=1]
$$\prod^{n}_{k=1}k=n!\; \forall n \in N . $$
[$0!=1$]
Temos que
$$\prod^{0}_{k=1}k=0!=1$$
por produto vazio .
Potência e $x^0=1\; \forall x$ .
[Potenciação $x^0=1$]
Podemos definir$$\prod^{n}_{k=1}x=x^n\; \forall n \in N\; \forall x . $$
[$x^0=1\; \forall x$]
Temos que
$$\prod^{0}_{k=1}x=x^0\; \forall x . $$
por produto vazio . Inclusive temos daí que $0^0=1 $, pois vale em geral $x^0=1\; \forall x.$
[$A^0 =I$ potência de matriz e matriz identidade]
Como o produto de matrizes $n \times n$ possui uma identidade $I$, que é matriz com elementos $1$ na diagonal e $0$ em todos os outros , então por produtório
$$A^n = \prod^{n}_{k=1}A $$
e daí
$$A^0= \prod^{0}_{k=1}A = I$$
resulta na matriz identidade.
[Sinal da permutação vazia]
Seja $S_n$ o conjunto das bijeções $\sigma$ de $I_n=\{1\leq k \leq n\; k \in N\}$ em $I_n$ , $S_n$ possuindo sempre $n!$ elementos . Caso $n=0$,$I_0=\{1\leq k \leq 0\; k \in N\}=\emptyset$ que é um conjunto vazio, existindo apenas uma função do vazio no vazio que é a função vazia. O que é coerente com a expressão $n!$ com $n=0$, dando $0!=1$ , contando uma função .
Definimos $sgn(\sigma)$, o sinal da permutação $\sigma$ por meio da expressão
$$\prod_{i<j, i,j \in I_n}(x_{\sigma (j)}-x_{\sigma(i)}) = sgn(\sigma) \prod_{i<j, i,j \in I_n}(x_{j}-x_{i}) $$
Agora queremos determinar $sgn(\sigma)$ para $\sigma$ a função vazia . Usamos a definição
$$\prod_{i<j, i,j \in I_n}(x_{\sigma (j)}-x_{\sigma(i)}) = sgn(\sigma) \prod_{i<j, i,j \in I_n}(x_{j}-x_{i}) $$
porém $I_0$ é vazio e temos acima com $n=0$ dois produtos vazios
$$\underbrace{\prod_{i<j,\; i,j \in I_0}(x_{\sigma (j)}-x_{\sigma(i)})}_{1} = sgn(\sigma) \underbrace{\prod_{i<j,\; i,j \in I_0}(x_{j}-x_{i})}_{1} $$
portanto $sgn(\sigma)=1$ para a função vazia.
[Extensão de determinante para ordem $0 \times 0$] .
Uma matriz real é uma função $f : I_n \times I_m \rightarrow R$, onde $I_n=\{1\leq k \leq n\; k \in N\}$, caso $n=m=0$, $I_0$ é vazio, portanto a matriz é a função vazia .
Se $n=0$ na expressão do determinante :
$$det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod^{n}_{k=1}a_{k, \sigma (k)} $$
temos $\prod^{0}_{k=1}a_{k, \sigma (k)}=1$ por produto vazio, logo
$$det(A)= \sum_{\sigma \in S_0} sgn(\sigma) . $$
como $sgn(\sigma)=1$ para a função vazia (seção anterior). O determinante fica
$$det(A)= \sum_{\sigma \in S_0} sgn(\sigma)= sgn(\sigma)=1 . $$
Tal conceito bate também com o de que o determinante é produto de autovalores, no caso a matriz $0 \times 0 $ não possui autovalores, portanto o produto de seus elementos é o produto vazio , resultando do número $1$ que é o determinante .
[Produto de primos e teorema fundamental da aritmética]
Todo número natural $m>1$ pode ser escrito de maneira única, a menos da ordem como produto de primos da forma
$$\prod^{n}_{k=1}p_k^{\alpha_k} $$
porém, com produto vazio podemos escrever $1$ também como produtório de primos, um produto vazio
$$\prod^{0}_{k=1}p_k^{\alpha_k} =1 . $$
[Polinômios e produto vazio]
O teorema fundamental da álgebra, implica que todo polinômio $P(x)$ de grau $n$, pode ser escrito como
$$P(x)=a\prod^{n}_{k=1}(x-x_k), $$
onde $a\neq 00 .$
Tal identidade também vale para $n=0$ com o produto vazio, pois
$$P(x)=a\prod^{0}_{k=1}(x-x_k)=a , $$
é um polinômio de grau $0$, uma constante.
[Aplicações de soma vazia]
[Integral de função em um ponto é nula e soma vazia]
Recordamos definições básicas de integração . Caso o leitor já esteja acostumado com os termos, pode passar para o final da seção .
[Partição de um intervalo]
Uma partição de um intervalo $[a,b]$ é um subconjunto finito de pontos $P=(t_{k})^{n}_{0}\subset [a,b]$ tal que $a \in P$, $b \in P$. Usaremos partições de modo que $a=t_{0}$, $b=t_{n}$ e $t_{k+1}>t_{k}$ para todo $k$ de $0$ até $n-1$ .
[Intervalo da partição]
O intervalo $[t_{i-1},t_{i}]$ que tem comprimento $t_{i}-t_{i-1}$ ser\'a chamado de $i$-\'esimo intervalo da parti\ccd \ta o $P$. Escrevemos $t_{i}-t_{i-1}=\Delta t_{i-1}$, como as partições tomadas são crescentes segue que $\Delta t_{i-1}>0$, então quando for conveniente podemos multiplicar desigualdades em cada lado por tais intervalos de partição sem alterar o sinal da desigualdade.
[Soma inferior]
A soma inferior de $f$ em relação a partição $P$ é o número
$$s(f;P)=\sum^{n}_{i=1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum^{n}_{i=1}m_{i} \Delta t_{i-1}. $$
[Soma superior]
A soma superior de maneira análoga é definida como
$$S(f;P)=\sum^{n}_{i=1}M_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum^{n}_{i=1}M_{i} \Delta t_{i-1}. $$
Essas somas também são chamadas de somas de Darboux-Riemann
[Integral inferior]
A integral inferior de uma fun\ccd \ta o limitada $f:[a,b]$ em $R$ é definida como
$$\underline{\int}^{b}_{a} f(x)dx =\sup_{P}\; s(f,P)$$
a integral inferior é definida como supremo das somas inferiores.
[Integral Superior]
A integral superior de uma fun\ccd \ta o limitada $f:[a,b]$ em $R$ é definida como
$$\overline{\int}^{b}_{a} f(x)dx =\inf_{P}\; S(f,P)$$
a integral superior é definida como ínfimo das somas superiores.
Onde a notação $\inf\limits_{P}$ e $\sup\limits_{P}$ \'e usada para indicar o inf\'imo e o supremo tomado a todas parti\ccd \to es $P$ do intervalo $[a,b].$
[Função integrável segundo Riemann]
Uma função limitada $f:[a,b]$ em $R$ é integrável quando sua integral inferior e superior s\ta o iguais e indicamos por
$$\int^{b}_{a}f(x) dx=\overline{\int}^{b}_{a} f(x)dx=\underline{\int}^{b}_{a} f(x)dx. $$
Se $f$ \'integr\'avel segundo Riemann em $[a,b]$ escrevemos $f \in R[a,b].$
[Partição do intervalo degenerado]
Seja o intervalo degenerado $[a,a]=\{a\}$, tem-se $t_{0}=a$ e $t_{n}=a$, deveríamos ter $t_{1}>t_{0}=a$ mas não podemos tomar elemento maior que $a$, logo $n$ s\'o pode assumir o valor $0$ de onde segue $t_{0}=a$, portanto tem-se apenas uma partição e a soma inferior fica
$$s(f,P)=\sum^{0}_{k=1}m_{k}\Delta t_{k-1}=0 $$
por ser soma vazia
e a soma superior
$$S(f,P)=\sum^{0}_{k=1}M_{k}\Delta t_{k-1}=0 $$
as somas superiores serão sempre iguais as somas inferiores e a integral superior igual à integral inferior, assim qualquer que seja a função, será integrável com integral $0$
$$\int^{a}_{a} f(x)dx=0. $$
[O vazio gera o espaço vetorial nulo $\{\0_v\}$.}]
Em um espaço vetorial, temos uma adição com elemento neutro $0_v$, logo temos uma soma vazia
$$\sum_{k \in \emptyset} f(k)=0_v. $$
[Combinação linear]
Seja $V$ um espa\ccd o vetorial e sejam $v_{k}$ ($k \in I_n$) vetores
de $V$. Dizemos que um vetor de $u$ \'e combina\ccd \ta o linear de
$(v_{k})^{n}_{1}$ se existem números reais
$(a_{k})^{n}_{1}$ tais que
$$u=\sum^{n}_{k=1}a_{k}.v_{k}.$$
De outro modo, seja $A$ um conjunto finito de vetores de $V$, dizemos que $u$ é combinação linear de $A$ se existem constantes reais $c_k$ tais que
$$u=\sum_{k \in A}c_k. k .$$
Em especial se $A =\emptyset$
$$0_v=\sum_{k \in \emptyset}c_k. k ,$$
isto é, $0$ é combinação linear de um conjunto vazio de vetores.
[Espaço gerado por um conjunto $A$]
Seja $A$ um subconjunto\footnote{$A$ não precisa ser um subespaço de $V$} de um espaço vetorial $V$
. O subespaço gerado por $A$ é o conjunto formado por todas combinações lineares de vetores de $A$, denotado por $S(A)$. (Pode também ser denotado por $[A]$ ou $<A>$.)
O vazio gera o espaço nulo. $<\emptyset> =\{0_v\}$, pois combinação linear vazia sempre resulta no elemento neutro $0_v$ .
[Conjunto linearmente independente $L.I$]
Um conjunto $A \subset V$ é um conjunto linearmente independente quando nenhum vetor de $v \in A$ é combinação linear de outros vetores de $A$. Os elementos de $A$ são chamados de vetores linearmente independentes.
Em termos simbólicos um conjunto $A$ é linearmente independente quando para qualquer $v\in A$ não podemos escrever
$$v=\sum_{x \in B}c_x.x $$
onde $B$ é um conjunto finito de elementos de $A\setminus \{v\}$ , os valores $c_x$ são constantes quaisquer em $K$ .
O conjunto vazio é linearmente independente, pois se não fosse existiria $v \in \emptyset$ tal que
$$v=\sum_{x \in B}c_x.x $$
mas não existe elemento $v$ no vazio.
[Base ]
Uma base de um espaço vetorial $V$ é um conjunto $B \subset V$ tal que $B$ gera $V$ e $V$ é $LI$.
O conjunto vazio é $LI$ e $S(\emptyset)=\{0_v\}$ então o vazio é uma base para o espaço nulo.
Relação de soma vazia , produto vazio e logaritmo}
Considerando a identidade
$$\ln (\prod^{n}_{k=1}f(k) ) = \sum^{n}_{k=1}\ln (f(k)), $$
com $n=0$ , se consideramos a soma vazia como sendo $0$ temos que
$$\ln (\prod^{0}_{k=1}f(k) ) =0 $$
portanto como logaritmo é injetivo, devemos ter $\prod^{0}_{k=1}f(k)=1 $ , pois $\ln (1)=0 .$
Caso seja considerado $\prod^{0}_{k=1}f(k)=1 $ então
$$\ln (\prod^{0}_{k=1}f(k) )= \ln (1)=0 = \sum^{0}_{k=1}\ln (f(k)), $$
a soma vazia é nula. Tal argumento funcionado pelo menos quando $f(k)>0 \; \forall k .$
Soma e teoria da medida}
Veremos aqui que a soma sobre conjuntos se torna uma medida finitamente aditiva, com a definição de que a soma sobre o vazio é zero . Por isso vamos antes introduzir alguns conceitos e dar alguns exemplos .
[Semi-anéis]
Dado um conjunto $\Omega$, uma coleção $S$ de subconjuntos de $\Omega$ é dita ser um semi-anel, quando satisfaz
$\emptyset \in S.$
Se $S_1$ e $S_2$ são elementos de $S$ então $S_1 \cap S_2 \in S.$ O conjunto é fechado em relação a interseção.
Se $S_0, S_1 \subset S$ então existem $(S_k)^{m}_{2} \in S$ conjuntos disjuntos, tais que
$$ S_1\setminus S_0 =\bigcup^{m}_{k=2}S_{k}.$$
%para algum $m$ natural. Isso implica que $S=\bigcup^{m}_{k=0}S_{k}$, $S$ pode ser coberto por um número finito de seus subconjuntos.
A diferença de dois conjuntos no semi-anel pode ser escrita como união de conjuntos disjuntos no semi-anel.
[Classe dos subconjuntos finitos é um semi-anel]
$\Omega $ qualquer e $S=\{A \subset \Omega\;|\; A\; {finito} \}, S$ é a classe que possui todos subconjuntos finitos de $\Omega.$
$\emptyset \in S$ pois o vazio é finito.
A interseção de dois conjuntos finitos é um conjunto finito.
Dados $A, B \in S$, sua diferença $A\setminus B$ é um conjunto finito.
Então $S$ é um semi-anel .
[Medida finitamente aditiva]
Seja $S=\bigcup^{m}_{k=1}S_k$ união disjunta. Uma função $\mu$ definida num semi-anel que satisfaz
$\mu(\emptyset)=0$,
$\mu(S)=\sum^{m}_{k=1}\mu(S_{k})$,
é dita finitamente aditiva.
Geralmente iremos considerar que a função $\mu$ leva elementos do semi-anel no conjunto $(-\infty , \infty ]$ ou $[0, \infty ]$ , porém podemos
considerar também levando elementos em $C$ ou em um espaço vetorial $V$. Uma medida finitamente aditiva satisfaz a propriedade
$$ \mu(\bigcup^{m}_{k=1}S_k)=\sum^{m}_{k=1}\mu(S_{k})$$
ela transforma a união disjunta em soma.
Com tais definições temos agora o exemplo que gostaríamos de dar, que o somatório é uma medida finitamente aditiva .
Dado $\Omega$ qualquer, $f:\Omega \rightarrow R$ e o anel $S=\{A \subset \Omega\;|\; A\; {finito} \} $, o somatório de $f$ é uma medida finitamente aditiva, $\mu_f:S \rightarrow R$.
Definindo $\mu_f(A)=\sum_{k \in A} f(k) $, temos
$$\mu_f(\emptyset)=\sum_{k \in \emptyset} f(k) =0, \; {pela soma vazia} $$
se $S=\bigcup^{m}_{t=1}S_t$, união disjunta então
$$\mu_f(S)=\sum_{k \in \bigcup^{m}_{t=1}S_t} f(k)= \sum^{m}_{t=1}\sum_{k \in S_t} f(k)=\sum^{m}_{t=1}\mu(S_t). $$
Se temos uma medida finitamente aditiva $\mu_f$ definida em um anel $S=\{A \subset \Omega\;|\; A\; {finito} \} $ com $\mu_f(\{a\})=f(a)$ então $\mu_f$ é um
somatório.
Soma e probabilidade}
[Probabilidade]
Seja um espa\ccd o amostral finito $\Omega=\{a_{k}, k \in I_{n}\}$.
Vamos definir a fun\ccd \ta o $p:\Omega\rightarrow R $ que
satisfaz
$$0\leq p(a_{k})\leq 1 $$
e
$$\sum^{n}_{k=1}p(a_{k})=1. $$
$p(a_{k})$ \'e chamado probabilidade do evento $\{a_{k}\}$, que
pode ser escrito $p(k)$. Dizemos que os n\'umeros $p(k)$ definem
uma distribui\ccd \ta o de probabilidade sobre $\Omega$.
Seja um evento qualquer $A$ de $\Omega$. Definimos probabilidade do
evento $A$ , e indicamos por $P(A)$ pelo somat\'orio sobre conjunto
finito
$$P(A)=\sum_{k \in A}P(k) $$
[Probabilidade do evento impossível]
Se $A$ \'e vazio temos $P(A)=0$, pois o somat\'orio sobre conjunto
vazio \'e $0$.
$$P(\emptyset)= \sum_{k \in \emptyset}P(k) =0 .$$
Soma e contagem}
A expressão a seguir dá o número de elementos de um conjunto finito $A$, que é denotado por $|A|$
$$\sum_{k \in A}1=|A|, $$
pois para cada elemento do conjunto se soma $1$. Caso $A= \emptyset$, o vazio não possui elementos, logo dizemos que o vazio possui $0$ elementos, que saí também da soma sobre conjunto vazio
$$\sum_{k \in \emptyset}1=0=|\emptyset|. $$
Soma e Característica de Um Anel}
Usando a soma vazia podemos definir a característica de um anel por meio de um somatório. Seja $A$ um anel com unidade $1_A$, definimos
$$A_c=\{ { menor } p\in {Z}^{+}\;:\; \underbrace{1+\ldots +1}_{p { parcelas} }=0 \}.$$
Definimos $Car(A)$, a caracterísitica de $A$, como
$$Car(A)= \sum_{k \in A_c} k . $$
Existem duas possibilidades:
$A_c$ é o conjunto vazio, nesse caso nenhuma soma de quantidades positivas de unidades é nula, daí
$$Car(A)= \sum_{k \in \emptyset} k =0, $$
pois a soma vazia é nula.
Caso contrário, existe um $p$ inteiro positivo tal que $A_c=\{p\}$ e a soma fica
$$Car(A)= \sum_{k \in \{p\}} k=p . $$
Sendo $p$ a característica do anel.
União de conjuntos}
Podemos considerar uma classe $C$ de conjuntos $A_k$, com operação de união $\cup$, o elemento neutro é o conjunto vazio pois
$$A \cup \emptyset= A . $$
Temos então que
$$\bigcup_{k \in \emptyset} A_k= \emptyset = \bigcup_{k=1}^0A_k . $$
União vazia , medida e soma vazia}
Se temos uma medida $\mu$, finitamente aditiva vale que $\mu (\emptyset)=0$, a definição da união vazia $\bigcup_{k \in \emptyset} A_k= \emptyset = \bigcup^{0}_{k=1}A_k$ e da soma vazia $ \sum^{0}_{k=1}f(k)= 0$ funcionam juntas , digamos que cada $(A_k)_{k \in {N}}$ forme uma coleção disjunta , então por propriedade de medida
$$\mu (\bigcup^{n}_{k=1}A_k) = \sum^{n}_{k=1}\mu (A_k) ,$$
se $n=0$, temos
$$\mu (\bigcup^{0}_{k=1}A_k) =\mu (\emptyset)=0, $$
por união vazia e também
$$\sum^{0}_{k=1}\mu (A_k) =0, $$
por soma vazia. Logo continua valendo
$$\mu (\bigcup^{n}_{k=1}A_k) = \sum^{n}_{k=1}\mu (A_k), $$
também para $n=0$ com adoção da soma vazia e união vazia.
Interseção de conjuntos}
Podemos considerar uma classe $C$ de conjuntos $A_k$, todos contidos em um conjunto $\Omega$, com operação de interseção $\cap$, o elemento neutro é o conjunto $\Omega$ pois
$$A \cap \Omega= A . $$
Temos então que
$$\bigcup_{k \in \emptyset} A_k= \Omega = \bigcup_{k=1}^0A_k . $$
Tal definição fica coerente com a definição recursiva
$$\bigcap^{1}_{k=1}A_k=A_1 $$
$$ \bigcap^{n+1}_{k=1}A_k = (\bigcap^{n}_{k=1}A_k ) \cap A_{n+1},$$
se $n=0$ temos
$$\bigcap^{1}_{k=1}A_k =A_1 = \underbrace{(\bigcap^{0}_{k=1}A_k )}_{\Omega} \cap A_{1} =A_1 . $$
obs}
Nem todas identidades continuam válidas com essa escolha de definição\footnote{Exemplo me comunicado por Alexandre Cezar}.
Com interseções não vazias, vale a identidade
$$A \cap \bigcap_{k=1}^n A_k=\bigcap_{k=1}^n [A_k\cap A ]. $$
Porém com $n=0$ tal identidade não vale, pois do lado esquerdo resulta em $A$ e do lado direito resulta em $\Omega$.
obs}
Interseção vazia, produto vazio e probabilidade}
Suponha que os eventos $A_k$ sejam independentes dois-a-dois, então temos a fórmula de probabilidade
$$P(\bigcap_{k=1}^n A_k)= \prod^{n}_{k=1}A_k, $$
Se $n=0$ o produto do lado direito é vazio, resulta em $1$, e a interseção do lado esquerdo é vazia, resultando no espaço amostral $\Omega$ em que temos $P(\Omega)=1$, então a identidade contínua valendo mesmo para o caso $n=0$.
Soma e produto, desigualdade das médias}
Se $(b_k)$ é uma sequência positiva com $\prod^{n}_{k=1}b_k=1$ então $\sum^{n}_{k=1}b_k \geq n$,
isto é, se o produto de termos positivos é $1$ então sua soma é maior ou igual a $n.$ É uma relação usada para provar a desigualdade das médias quando $n>0$.
Perceba que a propriedade também vale para $n=0$, o produto é o produto vazio $\prod^{0}_{k=1}b_k=1$ e a soma é a soma vazia $\sum^{0}_{k=1}b_k =0 .$
Teoria do Grafos}
Vale que
$$ \sum_{v \in V}d(v) =2m$$
em qualquer grafo com número finito de arestas e vértices, tal identidade vale inclusive em grafos com laços e arestas paralelas. Onde $V$ é o conjunto de vértices, $m$ o número de arestas, $d(v)$ o grau de cada vértice . Se $V$ é vazio não existem vértices, logo não existem arestas portanto $m=0$ e a soma
$ \sum_{v \in V}d(v)=0$ pois a soma é vazia.
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