RPG e Matemática-Probabilidade da Vantagem e Desvantagem

Texto em pdf sobre probabilidade e jogos de RPG
https://www.dropbox.com/s/tmm4a1fkasy72f2/probabilidadejogosderpg.pdf?dl=0


{Probabilidade da Vantagem e Desvantagem}

[Definição]
  • Uma jogada com vantagem de um dado de $m$ faces consiste em jogar dois dados do mesmo tipo ($m$ faces) e tomar o resultado mais favorável (consideramos aqui o maior valor).
  • Uma jogada com desvantagem de um dado de $m$ faces consiste em jogar dois dados do mesmo tipo ($m$ faces) e tomar o resultado menos favorável (consideramos aqui o menor valor).




[Proposição]

Sejam $1\leq x \leq m$ números naturais e $P_m(x+1)$ a probabilidade de tirar um valor $\geq x+1$ numa jogada com vantagem de um dado $dm$, de $m$ faces. Então, vale que
$$P_m(x+1)=1- \left(\frac{x}{m}\right)^2. $$



Para demonstrar essa propriedade usaremos 3 resultados:
1) Se temos um evento X de um espaço amostral $\Omega$ a probabilidade do evento complementar denotado por $X^c$ é dada por
$$P(X^c)=1-P(X). $$

2) Em um espaço amostral $\Omega$ finito de eventos unitários com mesma probabilidade temos que a probabilidade de um evento $X$ é dada por
$$P(X)= \frac{|X|}{|\Omega|} $$
onde $|X|$ simboliza a quantidade de elementos de $X$.

3) Dados dois eventos independentes $X_1$ e $X_2$ a probabilidade de ocorrer ambos é dada por
$$P(X_1 \cap X_2)=P(X_1)P(X_2). $$


[Demonstração]
Para calcular a probabilidade do evento $X^c$ de se tirar um valor $\geq x+1$ numa primeira jogada ou numa segunda  procedemos pelo uso do complementar, tal probabilidade desejada é o complementar de se obter um valor $< x+1$ na primeira e também na segunda jogada, isto é, tirar um valor $\leq x$ na primeira e também na segunda jogada. Para calcular a probabilidade de tirar um valor $\leq x$ os casos favoráveis são $X_1=X_2=\{ 1,\;\ldots,\; x\}$, então a probabilidade de obter duas vezes seguidas tais valores é calculada pelo produto das probabilidades
$$P(X_1 \cap X_2)=P(X_1)P(X_2)= \frac{x}{m} \cdot \frac{x}{m} = \left(\frac{x}{m} \right)^2,$$
e seu complementar é dado por
$$P(X^c)=1- P(X_1\cap X_2)=1-P(X_1)P(X_2), $$
$$ P_m(x+1)= 1-\left(\frac{x}{m} \right)^2. $$


Podemos escrever o resultado diretamente  em porcentagem multiplicando o numerador e o denominador por $100$, ficamos com
$$P_m(x+1)=[100- \left(\frac{10x}{m}\right)^2] \%. $$



[Exemplo]
Se $m=20$ temos
$$P_{20}(x+1)=[100- \left(\frac{10x}{20}\right)^2] \%=[100- \left(\frac{x}{2}\right)^2] \%. $$

Por exemplo a probabilidade de obter números $\geq 17$ na jogada de 2d20 é
$$P_{20}(17)=[100- \left(\frac{16}{2}\right)^2] \%=[100-64]\%=36\%. $$

Qual a probabilidade de um crítico com vantagem?
$$P_{20}(20)=[100- \left(\frac{19}{2}\right)^2] \%= 9,75\%. $$
A probabilidade normal de se obter um crítico  ($20$ no dado) é de $5\%$ mas com vantagem tal probabilidade sobe para $9,75\%$.

[Exemplo]
Como exemplos de jogos que possuem a mecânica de vantagem e desvantagem podemos citar:
  • O  dungeons and dragon quinta edição, com os nomes advantage e disadvantage.
  • Os jogos brasileiros Déloyal e Arquivos paranormais, com os nomes boa fortuna e má fortuna. Porém nesses jogos a vantagem e desvantagem se aplicam a dados $d4, d6, d8, d10$ e $d12$, tais jogos não usam o $d20$.


[Site recomendado]
Para observar valores das jogadas recomendo o site anydice
https://anydice.com

Por exemplo, para analisar as probabilidades de jogadas de 2 dados de 20 faces poste o comando

output [highest 1 of 2d20].