Física , Matemática e Realidade F.M

Neste texto demonstramos uma propriedade que ajuda a encontrar fórmulas fechadas para produtórios depois aplicamos tal identidade (o produto telescópico) em alguns produtórios de funções trigonométricas. O conteúdo apresentado aqui está contido no primeiro pdf abaixo (porém o pdf possui mais conteúdo sobre produtórios que o apresentado neste post). ►produtórios ►(9.17) produtórios Texto I https://www.dropbox.com/s/mqhzjwovs1lryh9/produto.pdf?dl=0 (9.18) texto 2 https://www.dropbox.com/s/o7218g6i6obtjrf/produto2.pdf?dl=0 [Notações] Denotaremos •$Qf(x)=\frac{ f(x+1) }{f(x)}.$ • $f(x)Q\bigg]^b_a= \frac{f(b)}{f(a)}.$ [Teorema] (Teorema fundamental do produtório parte I-Produto telescópico.) $$\prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\frac{f(b+1)}{f(a)} $$ [Demonstração] $$ \prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\prod^{b}_{k=a}\frac{f(k+1)}{f(k)}=\prod^{b}_{k=a}f(k+1).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}=$$ fazendo mudança de variável nos produtórios temos $$=\prod^{b+1}_{k=a+1}f(k).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}=...

O objetivo neste post é apresentar demonstrações de que o número $e$ e o número $\pi$ são irracionais. Apresentamos duas demonstrações da irracionalidade de $e$ e uma da de $pi$. Irracionalidade de "e" - Primeira demonstração. Segunda demonstração. Texto em PDF para download com o conteúdo deste post e muito mais ►(4.21)Irracionais- https://www.dropbox.com/s/4adx1at85abw85n/irracionais.pdf?dl=0 [Teorema] O número $e$ é irracional. [Demonstração][1] Vamos provar que $e^{-1}$ é irracional, logo $e$ também é . Temos pela representação em série que $$e^x= \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^k}{k!} $$ então $$e^{-1}=  \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}=\sum^{2n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!}+\sum^{\infty}_{k=2n}\frac{(-1)^k}{k!} \Rightarrow $$ $$e^{-1}-\sum^{2n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!} =\sum^{\infty}_{k=2n}\frac{(-1)^k}{k!}=\frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}+\cdots > 0  $$ pois todos termos somados e subtraídos são menores que $\frac{1}{(2n)!}...

{Cálculo de séries do tipo $\sum\limits^{\infty}_{k=0}ka^k .$} Um conteúdo similar ao que trado neste texto está contido nesse vídeo Veja também página 52 desse texto ►(14.5)cálculo de séries https://www.dropbox.com/s/2ut5lal356g4a5r/series2.pdf?dl=0 Veja página 35 do texto para acessar o exato texto desse blog em PDF. ►(20) Perguntas frequentes e erros comuns (FAQ) https://www.dropbox.com/s/f3oxebrb76s5x9o/perguntasfreqerros.pdf?dl=0 [Exemplo] Calcular $$s_{0}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k}}. $$ Temos $$s_{0}-\frac{s_{0}}{a}= 1+ \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{a^{k}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} =  1+ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} =1 .$$ logo $$s_{0}-\frac{s_{0}}{a} = s_0 (\frac{a-1}{a})=1 \Rightarrow s_0 = \frac{a }{a-1} . $$ [Exemplo] Calcular $s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}. $ Manipulamos os índices da série $$ s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}=1+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k+1...

{Princípio da casa dos pombos -PCP} {Notações } Primeiro, vamos introduzir uma notação, denotaremos neste texto $I_n=\{1, \cdots, n\} .$ {Princípio da casa dos pombos -PCP} [Proposição][Princípio das gavetas de Dirichlet- Ou princípio da casas dos pombos.] Se temos $m$ conjuntos $(A_k)_1^m$ e $n$ elementos $n>m$, com $\sum^{m}_{k=1}|A_k|=n$ então existe $A_t$ dentre os $(A_k)_1^m$, tal que $|A_t|>1.$ Esse resultado diz que se temos $n$ elementos e $m$ conjuntos tais que $n>m$ então deve haver um conjunto com pelo menos $2$ elementos. [Demonstração] Supondo que $|A_k| \leq 1\; \forall \;k$, então aplicando a soma $\sum^{m}_{k=1}$ em ambos lados dessa desigualdade temos $$n=\sum^{m}_{k=1}|A_k|\leq m \Rightarrow n \leq m $$ o que contraria a hipótese de $n>m$ ,portanto deve valer $|A_t|> 1 $ para algum $t \in I_n$. C.Q.D. [Exemplo] Um professor apostou com seus alunos que em sua turma haveria dois alunos que fazem aniversário no mesmo dia do mês. ...

[Somas e produtos sobre conjunto vazio-aplicações] O mesmo conteúdo exposto aqui no blog se encontra no seguinte link: ► somas e produtos vazios https://www.dropbox.com/s/yceuq6idshmmhyu/su10-somaprodutovazio.pdf?dl=0 O design do texto em pdf pode ser um pouco mais agradável a leitura. Neste texto o objetivo é dar exemplo de aplicação do conceito de soma e produto sobre o conjunto vazio . Em geral Se temos $(G, \;*\;)$ um conjunto $G$ munido de uma operação $*$ e uma função $f: D \rightarrow G$ onde $D$ é uma união de conjuntos , isto é, $f$ é uma função que associa a cada conjunto um valor em $G$, vamos denotar a repetição da operação $*$ com o símbolo de produtório $\prod$, dados $A, B$  disjuntos em $D$, $A\cup B =C$, queremos que $$\prod_{k \in C} f(k)=\prod_{k \in A} f(k) * \prod_{k \in B} f(k),  $$ se por exemplo $A= \emptyset$ então $C=B \cup A= B \cup \emptyset =B$ a expressão acima fica como $$\prod_{k \in B} f(k)=\prod_{k \in \emptyset} f(k) * \prod_{...

Os conceitos e definições relacionados ao infinito em Matemática podem levar a algumas ideias contra-intuitivas. Neste post listo 10 delas que vejo aparecer em dúvidas na internet. ________________________________________________________________________________ 1- Conjuntos infinitos podem ter mais elementos ou menos elementos que outros (no sentido de cardinalidade)! ★ Para comparar a  quantidade de elementos entre dois conjuntos não é necessário contar a quantidade de cada um deles! Exemplo: •Se há uma sala com cadeiras e alunos e todo aluno está sentado em uma cadeira e cada cadeira ocupada mesmo sem contar suas quantidades sabemos que possuem a mesma quantidade de elementos. Essa relação de um para um é chamada de  bijeção. Função Bijetora ☛ Se há uma  bijeção  entre dois conjuntos eles possuem a mesma quantidade de elementos. •Por outro lado se conseguimos sentar todos alunos em cadeiras, um em cada uma (sem especificar se sobraram ou n...

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