Física , Matemática e Realidade F.M

O intuito desse texto é falar um pouco sobre o curso de matemática Bacharelado, tendo como exemplo o curso de matemática da UFF-Universidade Federal fluminense, que foi o curso em que estudei, dando algumas dicas básicas e falando sobre as disciplinas. [Ensino Médio Vs Superior] A matemática do ensino médio é bastante diferente da matemática do curso superior, a ênfase é bem distinta , no ensino médio e ensino fundamental, em geral aqui no Brasil, se aprende uma matemática em que se valorizam contas e processos de manipulação simbólica enquanto na matemática do ensino superior a ênfase é na demonstração e descoberta, isto é, queremos demonstrar, deduzir, descobrir resultados novos. Em geral temos o desejo de demonstrar os resultados que são ensinados aos alunos no curso superior de matemática, sendo que  possivelmente apenas as primeiras disciplinas não possuem essa ênfase, como as disciplinas de cálculo diferencial e integral. O que seria demonstrar em matemática? não t...

Neste post indico textos de análise real: Elon lages Lima Marco cabral e Cássio Neri: Acesso aqui  http://www.dma.im.ufrj.br/~mcabral/livros/livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf Djairo Guedes Rudin Bartle; Introduction to Real Analysis Terrence Tao. Link  http://terrytao.wordpress.com/books/ Deixo alguns links de material que estou escrevendo também ►(4) Análise na reta  ►Algumas soluções do livro de análise do Elon ►(4.1)(pequeno) https://www.dropbox.com/s/ltau7yji519rtua/solucoeselon.pdf?dl=0 ► (4.2)(grande) https://www.dropbox.com/s/i4wcr0t02ihru7f/solucoeselon2.pdf?dl=0 ►(4.3)números naturais, axiomas de peano https://www.dropbox.com/s/dthyhoyf474j0ed/numerosnaturaisaxiomasdepeano.pdf?dl=0 ►(4.4)Conjuntos enumeráveis https://www.dropbox.com/s/lamn8ceevidup07/enumerabilidade.pdf?dl=0 ►(4.5)conceitos básicos de análise -axiomas algébricos, desigualdade e https://www.dropbox.com/s/l01mc0ayuxv5yk7/conceitosbasicos.pdf?dl...

Neste texto demonstramos uma propriedade que ajuda a encontrar fórmulas fechadas para produtórios depois aplicamos tal identidade (o produto telescópico) em alguns produtórios de funções trigonométricas. O conteúdo apresentado aqui está contido no primeiro pdf abaixo (porém o pdf possui mais conteúdo sobre produtórios que o apresentado neste post). ►produtórios ►(9.17) produtórios Texto I https://www.dropbox.com/s/mqhzjwovs1lryh9/produto.pdf?dl=0 (9.18) texto 2 https://www.dropbox.com/s/o7218g6i6obtjrf/produto2.pdf?dl=0 [Notações] Denotaremos •$Qf(x)=\frac{ f(x+1) }{f(x)}.$ • $f(x)Q\bigg]^b_a= \frac{f(b)}{f(a)}.$ [Teorema] (Teorema fundamental do produtório parte I-Produto telescópico.) $$\prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\frac{f(b+1)}{f(a)} $$ [Demonstração] $$ \prod^{b}_{k=a}Qf(k)=\prod^{b}_{k=a}\frac{f(k+1)}{f(k)}=\prod^{b}_{k=a}f(k+1).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}=$$ fazendo mudança de variável nos produtórios temos $$=\prod^{b+1}_{k=a+1}f(k).\prod^{b}_{k=a}\frac{1}{f(k)}=...

O objetivo neste post é apresentar demonstrações de que o número $e$ e o número $\pi$ são irracionais. Apresentamos duas demonstrações da irracionalidade de $e$ e uma da de $pi$. Irracionalidade de "e" - Primeira demonstração. Segunda demonstração. Texto em PDF para download com o conteúdo deste post e muito mais ►(4.21)Irracionais- https://www.dropbox.com/s/4adx1at85abw85n/irracionais.pdf?dl=0 [Teorema] O número $e$ é irracional. [Demonstração][1] Vamos provar que $e^{-1}$ é irracional, logo $e$ também é . Temos pela representação em série que $$e^x= \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^k}{k!} $$ então $$e^{-1}=  \sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}=\sum^{2n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!}+\sum^{\infty}_{k=2n}\frac{(-1)^k}{k!} \Rightarrow $$ $$e^{-1}-\sum^{2n-1}_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!} =\sum^{\infty}_{k=2n}\frac{(-1)^k}{k!}=\frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}+\cdots > 0  $$ pois todos termos somados e subtraídos são menores que $\frac{1}{(2n)!}...

{Cálculo de séries do tipo $\sum\limits^{\infty}_{k=0}ka^k .$} Um conteúdo similar ao que trado neste texto está contido nesse vídeo Veja também página 52 desse texto ►(14.5)cálculo de séries https://www.dropbox.com/s/2ut5lal356g4a5r/series2.pdf?dl=0 Veja página 35 do texto para acessar o exato texto desse blog em PDF. ►(20) Perguntas frequentes e erros comuns (FAQ) https://www.dropbox.com/s/f3oxebrb76s5x9o/perguntasfreqerros.pdf?dl=0 [Exemplo] Calcular $$s_{0}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k}}. $$ Temos $$s_{0}-\frac{s_{0}}{a}= 1+ \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{a^{k}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} =  1+ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} -\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{a^{k+1}} =1 .$$ logo $$s_{0}-\frac{s_{0}}{a} = s_0 (\frac{a-1}{a})=1 \Rightarrow s_0 = \frac{a }{a-1} . $$ [Exemplo] Calcular $s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}. $ Manipulamos os índices da série $$ s=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k+1}{2^k}=1+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k+1...

{Princípio da casa dos pombos -PCP} {Notações } Primeiro, vamos introduzir uma notação, denotaremos neste texto $I_n=\{1, \cdots, n\} .$ {Princípio da casa dos pombos -PCP} [Proposição][Princípio das gavetas de Dirichlet- Ou princípio da casas dos pombos.] Se temos $m$ conjuntos $(A_k)_1^m$ e $n$ elementos $n>m$, com $\sum^{m}_{k=1}|A_k|=n$ então existe $A_t$ dentre os $(A_k)_1^m$, tal que $|A_t|>1.$ Esse resultado diz que se temos $n$ elementos e $m$ conjuntos tais que $n>m$ então deve haver um conjunto com pelo menos $2$ elementos. [Demonstração] Supondo que $|A_k| \leq 1\; \forall \;k$, então aplicando a soma $\sum^{m}_{k=1}$ em ambos lados dessa desigualdade temos $$n=\sum^{m}_{k=1}|A_k|\leq m \Rightarrow n \leq m $$ o que contraria a hipótese de $n>m$ ,portanto deve valer $|A_t|> 1 $ para algum $t \in I_n$. C.Q.D. [Exemplo] Um professor apostou com seus alunos que em sua turma haveria dois alunos que fazem aniversário no mesmo dia do mês. ...

[Somas e produtos sobre conjunto vazio-aplicações] O mesmo conteúdo exposto aqui no blog se encontra no seguinte link: ► somas e produtos vazios https://www.dropbox.com/s/yceuq6idshmmhyu/su10-somaprodutovazio.pdf?dl=0 O design do texto em pdf pode ser um pouco mais agradável a leitura. Neste texto o objetivo é dar exemplo de aplicação do conceito de soma e produto sobre o conjunto vazio . Em geral Se temos $(G, \;*\;)$ um conjunto $G$ munido de uma operação $*$ e uma função $f: D \rightarrow G$ onde $D$ é uma união de conjuntos , isto é, $f$ é uma função que associa a cada conjunto um valor em $G$, vamos denotar a repetição da operação $*$ com o símbolo de produtório $\prod$, dados $A, B$  disjuntos em $D$, $A\cup B =C$, queremos que $$\prod_{k \in C} f(k)=\prod_{k \in A} f(k) * \prod_{k \in B} f(k),  $$ se por exemplo $A= \emptyset$ então $C=B \cup A= B \cup \emptyset =B$ a expressão acima fica como $$\prod_{k \in B} f(k)=\prod_{k \in \emptyset} f(k) * \prod_{...